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\[Y = \frac{100}{3} - \frac{2}{3}X\]
Die Steigung der Budgetgerade beträgt -2/3. Das bedeutet, dass ein Konsument für eine weitere Einheit von Gut X auf 2/3 Einheiten von Gut Y verzichten muss.
Um die maximale Anzahl an Einheiten Y zu berechnen, muss ein Konsument vollständig auf Gut X verzeichten, d.h. X = 0, sodass
\[Y = \frac{100}{3}\]
Um die maximale Anzahl an Einheiten X zu berechnen, muss ein Konsument vollständig auf Gut Y verzichten, d.h. Y = 0, sodass
\[0 = \frac{100}{3} - \frac{2}{3}X \]
\[\frac{2}{3}X = \frac{100}{3} \]
\[X = \frac{100}{3} * \frac{3}{2} = 50 \]
Die erste Güterkombination wäre nicht rational, da Geld für zusätzlichen Konsum übrig bleiben würde. Der Konsumenten
würde einen höheren Nutzen erlangen, wenn er mehr Gütereinheiten von X und/oder Y kaufen würde. Es sind noch 30 Einheiten an verfügbarem
Budget vorhanden, welche für den Konsum ausgegeben werden könnten:
\[100 > 2 * 20 + 3 * 20 = 70 \]
Die zweite Güterkombination wäre nutzenmaximierend, denn das gesamte Budget wird für den Konsum ausgegeben:
\[100 = 2 * 30 + 3 * 20 \]
Die dritte Güterkombination wäre nicht realisierbar, da die Kosten der Güter das Budget übersteigt:
\[100 < 2 * 30 + 3 * 30 \]
Indifferenzkurven sind konvex, da die Steigung der Indifferenzkurve (Grenzrate der Substitution, GRS) entlang der X-Achse stetig abnimmt.
Die GRS gibt an, wie viele Einheiten von Gut Y ein Konsument bereit ist für eine weitere Einheit von Gut X einzutauschen.
Besitzt ein Konsument verhältnismäßig viel Gut Y, aber relativ wenig von Gut X, so ist dem Konsument eine weitere Einheit von Gut X verhältnismäßig wertvoll,
sodass er bereit ist, viele Einheiten von Gut Y gegen eine Einheit von Gut zu tauschen, d.h. die GRS besitzt einen höheren Wert (Achtung: Das Vorzeichen der GRS ist negativ!).
Besitzt ein Konsument hingegen verhältnismäßig wenig Gut Y, aber relativ viel Gut X, dann ist dem Konsument eine weitere Einheit von Gut X weniger nutzenstiftend bzw.
eine Einheit von Gut Y ist dem Konsumenten in diesem Fall mehr Wert als eine Einheit von Gut X. In diesem Fall ist der Konsument bereit viele Einheiten von Gut X abzugeben,
um eine weitere Einheit von Gut Y zu erlangen. In anderen Worten, um eine Einheit von Gut Y aufzuwiegen, muss der Konsument viele Einheiten von Gut X als Gegenleistung bekommen,
um seinen Nutzen konstant zu halten. In diesem Fall ist die GRS einen kleineren Wert.
Punkt B ist nutzenmaximierend, da dort die höchst-mögliche Indiffernzkurve - bei gegebenem Budget - erreicht werden kann.
Die Güterkombinationen in den Punkten A und C sind zwar realisierbar und befinden sich auf der Budgetgeraden (d.h. das gesamte Budget wird für den Konsum verwendet),
allerding kann ein höherer Nutzen erzielt werden (eine höhere Indifferenzkurve erreicht werden)m wenn in Punkt A Gut Y gegen Gut X und in Punkt C Gut X gegen Gut Y
werden würde. Punkt C liegt außerhalb der Budgetgeraden und ist daher nicht realisierbar.
Im Optimum (Punkt B) entspricht die Steigung der Budgetgeraden genau der Steigung der Indifferenzkurve, d.h. die Steigung der Budgetgerade ist gleich der GRS.
Dies bedeutet, dass das Preisverhältnis der beiden Güter auf dem Markt (relative Preis) genau dem Verhältnis entspricht, zu dem der Konsument bereit ist ist Gut Y
gegen Gut X zu tauschen (GRS). Im Optimum bewerten folglich der Markt und die Konsumenten die beiden Gütern im Verhältnis zueinander gleich. Der relative Nutzen den ein Gut
für den Konsumenten besitzt ist also gleich dem relatieven Preises dieses Gutes.
Nehmen wir an, dass das Nutzenoptimum erreicht wird, wenn sowohl die GRS als auch der relative Preis gleich 1 beträgt.
Wenn nun die GRS = 4 wäre (eine Güterkombination links von Optimum), wäre der Konsumt bereit 4 Einheiten von Gut Y gegen eine Einheit von Gut X einzutauschen,
um seinen Nutzen konstant zu halten. Auf dem Markt würde der Konsumt für 4 Einheiten von Gut Y aber 4 Einheiten von Gut X erhalten.
Dadurch besitzt ein Konsument einen Anreiz Gut Y gegen Gut X einzutauschen, um einen höheren Nutzen zu erzielen. Dies wiederholt der Konsument solange
bis der relative Nutzen von Gut Y und Gut X gleich dem relativen Preis von Gut Y und Gut X auf dem Markt entspricht.
Würde ein Konsument ab diesem Punkt eine weitere Einheit von Gut Y gegen Gut X eintauschen, würde er einen Nutzenverlust hinnehmen, da er auf dem Markt weniger Einheiten von Gut X
für eine Einheit von Gut Y erhält, als er für ein konstantes Nutzenniveau benötigen würde.
Die Argumentation ist analog für den Fall, dass die GRS kleiner ist als das relative Preisverhältnis. In diesem Fall tauscht ein Konsument solange Gut X gegen Gut Y bis
die GRS dem relativen Preisverhältnis entspricht.
Normales Gut: Ein normales Gut X wird bei steigendem Einkommen vermehrt nachgefragt. Steigt der Preis von Gut X, so sinkt die Nachfrage nach diesem Gut,
da sich der Konsument weniger von diesem Gut leisten kann. Beispiele für normale Güter sind: Urlaubsreisen, Kleidung, Restaurantbesuch.
Inferiores Gut: Ein inferiores Gut X wird bei steigendem Einkommen weniger nachgefragt. Inferiore Güter sind oftmals Güter, welche mit stereotypisch
als "schlechte Qualität" wahrgenommen werden. Mit steigendem Einkommen werden diese Güter mit hochwertigen Gütern substituiert. Beispiele für inferiore Güter sind:
Restaurantbesuche bei Fast Food-Ketten, Gebrauchtwagen, Öffentliche Verkehrsmittel.
Giffen-Gut: Ein Giffen-Gut bezeichnet ein Gut, dessen Nachfrage nach diesem Gut mit dem Preis steigt. Giffen-Güter sind eine spezielle Art von inferioren Gütern,
bei denen der Einkommenseffekt den Substitutionseffekt überwiegt. Beispiel für Giffen-Güter: Luxusgüter (Uhren, Handtaschen, Oldtimer), Grundnahrungsmittel.
Die Engelskurve beschreibt den Zusammenhang zwischen Einkommen und der nachgefragten Menge nach einem Gut X. Mit zunehmenden Einkommen steigt die Nachfrage nach eine Gut X
kontinuierlich an, da man sich mehr von Gut X leisten kann. Es besteht folglich einen positiver Zusammenhang zwischen Einkommen und Konsum von Gut X.
Übersteigt das Einkommen jedoch eine gewisse Grenze, nimmt die Nachfrage nach Gut X allerdings wieder ab, da Gut X durch ein anderes, höherwertigeres Gut substituiert
werden kann. Ab einem bestimmten Punkt, wird der Zusammenhang zwischen Einkommen und Nachfrage nach Gut X negativ, d.h. Gut X wird inferior.
Beispiel: Autofahren
Besitzen Sie nur ein sehr geringes Einkommen, können Sie sich kein eigenes Auto leisten und sind daher auf öffentliche Verkehrsmittel angewiesen. Mit steigendem Einkommen
können Sie zuerst häufiger auf öffentliche Verkehrsmittel zurückgreifen. Ab einem gewissen Einkommen jedoch können Sie sich ein eigenes Auto leisten und steigen immer häufiger
von öffentliche Verkehrsmittel auf Fahrten mit dem eigenen Auto zurück. In diesem Fall waren öffentliche Verkehrsmittel zuerst ein normales Gut. Ab einer bestimmten Einkommenshöhe
hat reduziert sich die Nachfrage nach diesem Gut jedoch kontinuierlich mit steigendem Einkommen. Stattdessen wird vermehrt das Autofahren nachgefragt. Allerdings gilt das gleiche
Prinzip auch für das Autofahren. Ab einer bestimmten Einkommensgrenze reduzieren Sie das Autofahren und lassen sich stattdessen bspw. von A nach B fliegen oder leisten sich einen
Chauffeur und fahren nicht mehr selbst.
Ein Preisansteig von Gut Y führt dazu, dass die Budgetgerade nach innen kippt. Dadurch wird eine niedrigere Indifferenzkurve erreicht.
In diesem Beispiel dominiert der Substitutionseffekt den Einkommenseffekt von Gut X, d.h. trotz des Einkommensrückgang durch den Preisanstieg in Gut Y,
frägt der Konsument mehr Gut X nach als er es zuvor getan hat.
Ob die Nachfrage nach Gut X steigt, hängt davon ab, ob der Substitutions- oder der Einkommenseffekt dominiert. Im Normalfall dominiert jedoch der Einkommenseffekt, d.h.
steigt der Preis von Gut Y, führt der Einkommensrückgang dazu, dass auch weniger von Gut X konsumiert werden kann - vorausgesetzt sowohl bei Gut X als auch bei Gut Y handelt
es sich um normale Güter. Die Nachfrage nach Gut X steigt bei einem Preisanstieg von Gut Y nur, wenn der Substitutionseffekt dominiert.
Die Nachfrage nach Gut Y sinkt (Einkommenseffekt). Da es sich bei Gut X um ein inferiores Gut handelt, steigt die Nachfrage bei einem Einkommensrückgang.
Nein, denn bei einem Einkommensanstieg würde die Nachfrage sowohl nach Burgern als auch nach Cola sinken, d.h. Christian würde seine Ernährung
immer stärker reduzieren. Im umgekehrten Fall würde ein Einkommensrückgang bedeuten, dass der Konsum von Burger und Cola zunimmt, obwohl das Einkommen
geringer ist. Durch die Annahme, dass sich Christian nur von Burger und Cola ernährt, muss Christian bereits sein gesamtes Einkommen für Burger und Cola
ausgeben. Würde nun das Einkommen sinken, wäre Christian nicht in der Lage mehr Burger und Cola zu kaufen. Mindestens ein Gut muss
ein normales Gut sein.
\[ GRS = - \frac{dU(x,y)/dx}{dU(x,y)/dy}\]
\[ dU(x,y)/dx = 0.1x^{-0.9}y^{0.9} \]
\[ dU(x,y)/dy = 0.9x^{0.1}y^{-0.1} \]
\[ GRS = - \frac{0.1x^{-0.9}y^{0.9}}{0.9x^{0.1}y^{-0.1}} \]
\[ GRS = - \frac{0.9y^{0.9}y^{0.1}}{0.9x^{0.1}x^{0.9}} = \frac{y}{9x} \]
Um den relativen Preis von Y zu ermitteln, muss die Budgetrestriktion nach Y umformuliert werden.
\[ x = 25 - \frac{1}{2}x \]
Der relative Preis von Y ist die Steigung der Budgetgerade, d.h. der relative Preis von Y ist 1/2.
Schritt 1: Langrange-Funktion aufstellen:
\[ ℒ(x,y) = x^{0.25}y^{0.75} - \lambda(2x + 4y - 100) \]
Schritt 2: Partielle Ableitungen nach x, y, und λ bilden und diese Nullsetzen:
(1): \[ \frac{\deltaℒ(x,y)}{\delta x} = 0.25x^{-0.75}y^{0.75} = 0 \]
(2): \[ \frac{\deltaℒ(x,y)}{\delta y} = 0.75x^{0.25}y^{-0.25} = 0 \]
(3) \[ \frac{\deltaℒ(x,y)}{\delta λ} = 2x + 4y - 100 = 0 \]
Schritt 3: Gleichungen (1) und (2) gleichsetzen und nach x oder y auflösen:
\[ 0.25x^{-0.75}y^{0.75} = 0.75x^{0.25}y^{-0.25} \]
\[ \frac{1}{3}y = x \] oder
\[ y = 3x \]
Schritt 4: Lösung in Gleichung (3) einsetzen und die optimalen Werte für x und y berechnen:
\[ 2x + 4(3x) = 14x = 100 \]
\[ x = \frac{100}{14} \]
\[ y = \frac{300}{14} \]
Schritt 5: Die Lösung kann überprüft werden, indem beide Ergebnisse in die Budgetrestrikition eingesetzt werden:
\[ 100 = 2 * \frac{100}{14} + 4 * \frac{300}{14} = \frac{1400}{14} \]
\[ 64 = 2x + 8y \]
\[ ℒ(x,y) = x^{0.5}y^{0.5} - \lambda(2x + 8y - 64) \]
\[ \frac{\deltaℒ(x,y)}{\delta x} = 0.5x^{-0.5}y^{0.5} = 0 \]
\[ \frac{\deltaℒ(x,y)}{\delta y} = 0.5x^{0.5}y^{-0.5} = 0 \]
\[ \frac{\deltaℒ(x,y)}{\delta \lambda} = 2x + 8y - 64 = 0 \]
\[ 0.5x^{-0.5}y^{0.5} = 0.5x^{0.5}y^{-0.5} \]
\[x = y \]
\[ 2x + 8x = 10x = 64 \]
\[ x = y = \frac{64}{10} \]
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