4.2 Diskrete Zeit: Differenzengleichung

Modelle in stetiger Zeit sind sehr ähnlich zu den Modellen mit kontinuierlicher Zeit. In der Numerik werden die stetigen Modelle ja auch durch diskrete Modelle approximiert. Der wesentliche Unterschied liegt hier in der graphischen Darstellung.

Im Gegensatz zum zeitstetigen Modell, bei dem die Bewegungsgleichung die Änderungsrate des Zustands angibt ($ẋ$), wird hier der Zustand der Folgeperiode $x_{t+1}$ als Funktion des aktuellen Zustands $x_t$ angegeben.

wobei $p$ wieder exogene Parameter darstellen.

Die Graphik zeigt folglich auch ein $x_t-x_{t+1}$-Koordinationsystem und nicht ein $x-ẋ$-Koordinatensystem. Der $x_{t+1}$ Funktionsgraph verläuft steiler als der $ẋ$ Graph, weil $ẋ$ eine Änderungsrate darstellt wohingegen bei $x_{t+1}$ die Änderung zuzüglich des Altwerts enthalten ist, also auf die Änderung die Winkelhalbierende aufaddiert wird ($x_{t+1}=\mathrm{\Delta }{x}_{t+1}+x_t$). Das Gleichgewicht bestimmt sich wieder durch die Bedingung, dass sich der Zustand nicht ändert, also $x_t=x_{t+1}$. Dies entspricht der Winkelhalbierenden.

Beispielhaft illustrieren wir das an

Dabei stellt $p$ den exogenen Parameter dar, der mit Hilfe des Schiebereglers verschoben werden kann.

In der Beispielgraphik sieht man sehr schön, dass es zwei Arten von Gleichgewichten gibt:

• stabile Gleichgewichte, bei denen sich das System hin zum Gleichgewicht bewegt.
• instabile Gleichgewichte, bei denen sich das System vom Gleichgewichtspunkt wegbewegt.

Im grünen Bereich bewegt sich das System nach oben, d.h. $x$ wächst im Zeitablauf ($ẋ>0$), im roten Bereich nach unten, d.h. $x$ fällt im Zeitablauf ($ẋ<0$). In einem Bereich um das erste und dritte Gleichgewicht bewegt sich das System auf das Gleichgewicht zu, beim zweiten davon weg.

In der unteren Graphik können Sie eine selbstgewählte Funktion $f$ eingeben, und sich die Gleichgewichte anzeigen lassen.

In der Graphik ist zudem die Entwicklung von einem beliebigen Startpunkt angegeben. Wie man in der Graphik sieht, konvergiert das Modell von jedem Punkt aus zum Gleichgewicht. Dabei sind die Konvergenzschritte umso kleiner, je näher man sich am Gleichgewicht befindet. Die Graphik ist dabei so zu lesen: Ausgehend von einem Startwert $k_t$ bestimmen wir den Wert $k_{t+1}$ der nächsten Periode, indem wir vom Punkt $k_t$ auf der x-Achse nach oben zum Funktionsgraph $k_{t+1}\left(k_t\right)$ gehen und dort den y-Wert $k_{t+1}$ ablesen. Diesen Spiegeln wir dann an der Winkelhalbierenden (x=y) wieder auf die x-Achse zurück um dort den nächsten Startpunkt $k_{t+1}$ zu bekommen. Nun wiederholen wir das Procedere um zu $k_{t+2}$ zu bekommen usw.

Wenn man bei diesem Verfahren die Wege von und zu den Achsen weglässt, sieht man, dass man nach dem Ablesen des $k_{t+1}-$Wertes der nächsten Periode am Funktionsgraphen diesen direkt horizontal zur Winkelhalbierenden überträgt und von da aus wieder vertikal zum Funktionsgraphen für den nächsten $k_t$ Wert.