Kapitel 16
CES-Produktionsfunktionen

Die CES-Produktionsfunktion ist eine Produktionsfunktion, deren Substitutionselastizität stets den gleichen Wert annimmt. CES steht hier für c onstant e lasticity of s ubstitution. Diese Eigenschaft ist in vielen ökonomischen Anwendungen vorteilhaft. Die symmetrische Form lautet: ${ℝ}^n\mapsto ℝ,f(v)=a_0{\left({\sum <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}_{j=1}^n{c}_j{v}_j^{-\rho }\right)}^{-\frac{h}{\rho }},n\ge 1$, wobei die Substitutionselastizität $\sigma =\frac{1}{1+\rho }$ ist.
Durch Variation von $\rho$ kann der Typ der Nutzenfunktion von Leontief über CobbDouglas zu vollkommener Substitution (lineare Nutzenfunktion). Dies wird in der nachfolgenden Graphik "Substitutionalität von Produktionsfaktoren" dargestellt. In der vorliegenden Graphik können hingegen weitere Parameter verändert werden.
u stellt das Produktionsniveau dar. Je höher u gewählt wird, desto mehr wird produziert und desto mehr Input ist nötig. Mit steigendem u verschiebt sich die Isoquante nach außen.
a stellt den Technologiefaktor dar. Je höher a gewählt wird, desto mehr kann mit der gleichen Menge an Produktionsfaktoren produziert werden. Für eine konstante Outputmenge ist also bei besserer Technologie weniger Input ist nötig. Mit steigendem a verschiebt sich die Isoquante nach innen.
Anstelle von Produktionsniveau u und Technologiefaktor a kann auch der effektiven Output $\frac{u}{a}$ betrachtet werden.
c${}_1$ bzw. c${}_2$ stellen die relativen Gewichte der beiden Produktionsfaktoren (Inputs) $1$ und $2$ dar. Je höher das Gewicht c${}_i$ des Produktionsfaktors $1$ ist, desto mehr Output kann je Einheit der Faktors i prduziert werden.
h gibt den Grad der Homogenität an. Bei h = 1 ist die Funktion linear homogen, d.h. bei einer Verdoppelung aller Inputfaktoren verdoppelt sich auch der Output. Für $h>1$ gelten positive Skaleneffekte, für $h<1$ negative Skaleneffekte.
Für einen effektiven Gesamtoutput $\frac{u}{a}$ größer 1 gilt: Je größer h ist, desto höher c.p. der Gesamtoutput, d.h. desto weniger Input wird benötigt, um einen bestimmten Output u zu erzielen. Mit steigendem h rutscht die Isoquante nach innen. Bei $\frac{u}{a}=1$ hat h keinen Effekt auf die Isoquante und bei $\frac{u}{a}<1$ ist der Effekt von h invers, da die Potenzfunktion zu einer Basis kleiner 1 fallend ist. Dieser Fall wird i.d.R. nicht betrachtet.
In der obigen Graphik ist für n=2 ein Graph der CES Funktion

Da diese Darstellung überparametrisiert ist, wurde der Parameter $c_2=1$ gesetzt, so dass das relative Gewicht der beiden Güter nur noch durch $c_1$ repräsentiert wird.