18.3.3 Rechenbeispiel Autarkie

Es wird angenommen, es gibt zwei Länder: Inland und Ausland $\text{(∗)}$, die zwei Güter $A$ und $B$ produzieren. Zur Produktion der Güter werden zwei Faktoren gebraucht: Arbeit $L$ und Kapital $K$. Inland verfügt über $450$ Einheiten an Kapital und $450$ Einheiten an Arbeit. Ausland verfügt über $1000$ Kapitaleinheiten und $500$ Arbeitseinheiten. Die Länder haben gleiche Produktionstechnologien für jede Industrie. Das optimale Verhältnis zwischen Kapital und Arbeit unter Autarkie in der A-Industrie ist $\frac{K_A}{L_A}=2$; das optimale Verhältnis zwischen Kapital und Arbeit unter Autarkie in der B-Industrie ist $\frac{K_B}{L_B}=\frac{1}{2}$. Konsumenten in den Ländern haben die folgende Nutzenfunktion: $U(A,B)=A^{1∕2}{B}^{1∕2}$.

• Welches Land ist kapitalreich? Welches Land ist arbeitsreich?
  Um diese Fragen zu beantworten, müssen die relativen Faktorausstattungen in den Ländern verglichen werden.

  $$\frac{K}{L}=1<\frac{K^{\text{∗}}}{L^{\text{∗}}}=2$$

  Ausland ist kapitalreich, Inland ist arbeitsreich.

• Welche Industrie ist kapitalintensiv? Welche Industrie ist arbeitsintensiv? Um die Frage zu beantworten, müssen die optimalen Verhältnisse zwischen Kapital und Arbeit in den Industrie verglichen werden.

  $$\frac{K_A}{L_A}=2>\frac{K_B}{L_B}=\frac{1}{2}$$

  Die A-Industrie ist kapitalintensiv, die B-Industrie ist arbeitsintensiv.

• Nehmen Sie zusätzlich an, dass die Transformationskurve im Inland $B=160-\frac{1}{4}{A}^2$ ist. Berechnen Sie die Produktions- und Konsummengen von den Gütern unter Autarkie im Inland.
  Unter Autarkie kann man nur das konsumieren, was im Land produziert wird. Der Punkt auf der TK wird so gewählt, dass die höchstmögliche Nutzenindifferenzkurve die TK gerade tangiert. Die Lagrangefunktion lautet:

  $$\mathcal{ℒ}=A^{1∕2}{B}^{1∕2}+\lambda (160-\frac{1}{4}{A}^2-B).$$

  $$\begin{array}{rcll}\frac{\partial \mathcal{ℒ}}{\mathit{\partial A}}=\frac{1}{2}{A}^{-1∕2}{B}^{1∕2}-\frac{1}{2}\mathit{\lambda A}& =& 0& \text{(18.1)}\\ \frac{\partial \mathcal{ℒ}}{\mathit{\partial B}}=\frac{1}{2}{A}^{1∕2}{B}^{-1∕2}-\lambda & =& 0& \text{(18.2)}\\ \frac{\partial \mathcal{ℒ}}{\mathit{\partial \lambda }}=160-B-\frac{1}{4}{A}^2& =& 0& \text{(18.3)}\end{array}$$

  18.1 und 18.2 ergibt

  $$B=\frac{1}{2}{A}^2$$

  Eingesetz in 18.3 erhalten wir

  $$160=\frac{3}{2}B$$

  $$B=\frac{320}{3}\Rightarrow A=8\sqrt{\frac{10}{3}}$$

  Unter Autarkie wird Inland $8\sqrt{\frac{10}{3}}\approx 14,6$ Einheiten von Gut $A$ produzieren und konsumieren und $\frac{320}{3}106,7$ Einheiten von Gut $B$.