18.5.3 Rechenbeispiel Freihandel

1. Es wird wie oben angenommen, es gibt zwei Länder, Inland und Ausland $\text{(∗)}$, die zwei Güter $A$ und $B$ produzieren. Zur Produktion der Güter werden zwei Faktoren gebraucht: Arbeit $L$ und Kapital $K$. Inland verfügt über $450$ Einheiten an Kapital und $450$ Einheiten an Arbeit. Ausland verfügt über $1000$ Kapitaleinheiten und $500$ Arbeitseinheiten. Die Länder haben gleiche Produktionstechnologien für jede Industrie. Das optimale Verhältnis zwischen Kapital und Arbeit unter Autarkie in der A-Industrie ist $\frac{K_A}{L_A}=2$; das optimale Verhältnis zwischen Kapital und Arbeit unter Autarkie in der B-Industrie ist $\frac{K_B}{L_B}=\frac{1}{2}$. Konsumenten in den Ländern haben die folgende Nutzenfunktion: $U(A,B)=A^{1∕2}{B}^{1∕2}$. Die Transformationskurve im Inland ist $B=160-\frac{1}{4}{A}^2$.

   Wir haben schon festgestellt, dass Ausland ein kapitalreiches Land und Inland ein arbeitsreiches Land ist. Die A-Industrie ist kapitalintensiv, die B-Industrie ist arbeitsintensiv.

   Die zwei Länder öffnen sich nun für den Freihandel. Nach dem Heckscher-Ohlin-Theorem wird Inland sich auf die Produktion von Gut $B$ unvollständig spezialisieren, Ausland wird sich unvollständig auf die Produktion von Gut $A$ spezialisieren.

   Zusätzlich treffen wir die Annahme, dass die Weltmarktpreise gleich eins sind: $p_A^w=p_B^w=1$. Berechnen Sie die Produktions- und Konsummengen in Inland.

   • Produktionspunkt. Das Optimierungsproblem lautet: maximiere Einkommen zu den Weltmarktpreisen unter der Nebenbedingung Transformationskurve. Das Einkommen: $I=p_A^w{A}_p+p_B^w{B}_p=A_p+B_p.$

     $$\mathcal{ℒ}=A_p+B_p+\lambda (160-\frac{1}{4}{A}_p^2-B_p)$$

     $$\begin{array}{rcll}\frac{\partial \mathcal{ℒ}}{\partial A_p}=1-\lambda \frac{1}{2}{A}_p& =& 0& \text{(18.4)}\\ \frac{\partial \mathcal{ℒ}}{\partial B_p}=1-\lambda & =& 0& \text{(18.5)}\\ \frac{\partial \mathcal{ℒ}}{\mathit{\partial \lambda }}=160-\frac{1}{4}{A}_p^2-B_p& =& 0& \text{(18.6)}\end{array}$$

     18.4 und 18.5 ergibt

     $$A_p=4$$

     Eingesetz in 18.6 erhalten wir

     $$\begin{array}{rcll}160-4-B& =& 0& \\ & \iff & B=154.& \end{array}$$

     Inland wird $4$ Einheiten von Gut A und $154$ Einheiten von Gut B produzieren.

   • Konsumpunkt. Das Optimierungsproblem lautet: maximiere Nutzenfunktion unter der Nebenbedingung Budgetgerade. Die Budgetgerade ist: $p_A^w{A}_p+p_B^w{B}_p=p_A^w{A}_c+p_B^w{B}_c$. Die Weltmarktpreise und die Produktionseinheiten sind bereits bekannt: $158=A_c+B_c$.

     $$\mathcal{ℒ}=A_c^{1∕2}{B}_c^{1∕2}+\lambda (158-A_c-B_c)$$

     $$\begin{array}{rcll}\frac{\partial \mathcal{ℒ}}{\partial A_c}=\frac{1}{2}{A}_c^{-1∕2}{B}_c^{1∕2}-\lambda & =& 0& \text{(18.7)}\\ \frac{\partial \mathcal{ℒ}}{\partial B_c}=\frac{1}{2}{A}_c^{1∕2}{B}_c^{1∕2}-\lambda & =& 0& \text{(18.8)}\\ \frac{\partial \mathcal{ℒ}}{\mathit{\partial \lambda }}=158-A_c-B_c& =& 0& \text{(18.9)}\end{array}$$

     Aus den Gleichungen 18.7 und 18.8 erhalten wir:

     $$\begin{array}{rcll}\frac{A_c^{-1∕2}{B}_c^{1∕2}}{A_c^{1∕2}{B}_c^{-1∕2}}& =& 1& \\ & \iff & A_c=B_c& \end{array}$$

     Eingesetzt in Gleichung 18.9:

     $$\begin{array}{rcll}158-A-c-A_c& =& 0& \\ & \iff & A_c=79=B_c.& \end{array}$$

     Inland wird $79$ Einheiten von jedem Gut konsumieren. Inland wird $75$ Einheiten von Gut $B$ exportieren und $75$ Einheiten von Gut $A$ importieren (Heckscher-Ohlin-Theorem bestätigt).

2. Nun wollen wir zeigen, wie die Nullgewinnbedingungen und die Vollbeschäftigungsbedingungen für die Bestimmung von Faktorpreisen und die Produktionsmengen benutzt werden können. Die Annahmen aus dem Beispiel vorher bleiben. Wir betrachten nur das Inland, das neue Faktorausstattungen und neue Produktionsfunktionen hat. Industrie A ist weiterhin kapitalintensiv, Industrie B - arbeitsintensiv.

   Inland hat nun $450$ Einheiten an Kapital und $300$ Einheiten an Arbeit. Die Weltmarktpreise sind weiterhin $p_A^w=p_B^w=1$.

   $A$-Industrie hat die folgende Produktionsfunktion: $A=\frac{1}{100}\mathit{min}(K_A,2L_A)$. Die Produktionsfunktion von $B$-Industrie ist $B=\frac{1}{100}\mathit{min}(2K_B,L_B)$.

   • Zuerst wollen wir prüfen, ob die angenommenen Industrieintensitäten tatsächlich stimmen. Zur Bemerkung, die gegebenen Produktionenfunktionen sind die sogenannten Leontief-Produktionsfunktionen. Für $1$ Einheit von Gut $A$ wird $K_A=100$ Einheiten von Kapital und $L_A=50$ Einheiten von Arbeit gebraucht. Für $1$ Einheit von Gut $B$ wird $K_B=50$ Einheiten von Kapital und $L_B=100$ Einheiten von Arbeit gebraucht. Es gilt dann:

     $$\frac{K_A}{L_A}=\frac{100}{50}=2>\frac{K_B}{L_B}=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}.$$

     Die $A$-Industrie ist tatsächlich kapitalintensiv und die $B$-Industrie ist tatsächlich arbeitsintensiv.

   • Berechnen Sie die Faktorpreise mit der Hilfe von Nullgewinnbedingungen. Nullgewinnbedingungen besagen, dass der Preis gleich den Einheitskosten sein muss.

     Für $A-$Industrie:

     $$1=c_A(w,r)=a_{\mathit{KA}}r+a_{\mathit{LA}}w$$

     $$1=100r+50w\iff 2-200r=100w$$

     Für $B$-Industrie:

     $$1=c_B(w,r)=a_{\mathit{KB}}r+a_{\mathit{LB}}w$$

     $$1=50r+100w$$

     Die Nullgewinnbedingung der $A-$Industrie eingesetzt:

     $$1=50r+2-200r\Rightarrow 150r=1$$

     $$r=\frac{1}{150},w=\frac{1}{150}.$$

   • Berechnen Sie die Produktionsmengen mit der Hilfe von Vollbeschäftigungsbedingungen.

     Vollbeschäftigungsbedingung für $L-$Markt:

     $$\overline{L}=a_{\mathit{LA}}(w,r)A+a_{\mathit{LB}}(w,r)B$$

     $$300=50A+100B\iff 100B=300-50A$$

     Vollbeschäftigungsbedingung für $K-$Markt:

     $$\overline{K}=a_{\mathit{KA}}(w,r)A+a_{\mathit{KB}}(w,r)B$$

     $$450=100A+50B\iff 900=200A+100B$$

     Vollbeschäftigungsbedingung des $L-$Marktes eingesetzt:

     $$900=200A+300-50A\Rightarrow 600=150A$$

     $$A=4,B=1.$$