10.1 Lagrange

Eine in der Mikroökonomik häufig auftauchende Problemstellung ist die Maximierung oder Minimierung einer Funktion unter Nebenbedingungen. Typische Beispiele sind in der Haushaltstheorie die Maximierung der Nutzens unter einer Budgetbeschränkung oder in der Theorie der Unternehmen die Minimierung der Kosten der Produktion einer bestimmten Gütermenge. Beide Probleme haben wir graphisch in den entsprechenden Abschnitten behandelt. Hinzu kommen oft weitere Bedingungen wie die Nichtnegativität von Gütern und Mengen. Hier soll nun die formale Lösung eines solchen Problems präsentiert werden. Wir werden uns dabei auf den Fall mit zwei Variablen ($x$ und $y$ oder $K$ und $L$) beschränken, welche auch der graphischen Analyse in den Referenzkapiteln entspricht. Die allgemeine Form findet sich in vielen Lehrbüchern, z.B. in Sydsaeter, Hammond "Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler" oder Bauer, Clausen, Kerber, Meier-Reinhold "Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler" (zum freien Download: https://www.uni-trier.de/index.php?id=47411). Dort finden Sie auch Hinweise zur Interpretation der Lagrangemultiplikatoren als Schattenpreise.
Der Abschnitt gliedert sich in folgende Seiten:

1. Der Lagrange-Formalismus: Der Formalismus wird vorgestellt und das Lösungskonzept präsentiert.
2. Der Lagrange-Formalismus am Beispiel des Konsumproblems: Lösung mit der Darstellung der Äquivalenz zur graphischen Lösung und Interpretation.
3. Der Lagrange-Formalismus am Beispiel einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion.
4. Der Lagrange-Formalismus am Beispiel einer anderen Nutzenfunktion.
5. Der Lagrange-Formalismus für eine beliebige Funktion (Achtung: die Fähigkeiten des integrierten Computeralgebrasystems sind begrenzt.)
6. Das duale Problem: Hier wird die Äquivalenz des Maximierungs- und des Minimierungsproblems erläutert
7. Randlösungen: Hier werden Fälle betrachtet, welche als Optimum $x=0$ oder $y=0$ beinhalten.
8. Die abgeleitete Nachfrage