10.3 Der Lagrange-Formalismus am Beispiel des Konsumproblems

Wir lösen nun das bekannte Problem des Haushaltsoptimums. Maximiere den Nutzen $U\left(x,y\right)$ bei gegebenem Budget $B$, wenn die Güterpreise $p_x$ und $p_y$ betragen. Es gelte für die Nutzenfunktion Nichtsättigung und Konkavität.

Wir bilden die Lagrangefunktion

und die Bedingungen erster Ordnung:

Die FOC 3 stellt die Nebenbedingung dar. Die anderen beiden formen wir um, indem wir $-\lambda p_x$ bzw. $-\lambda p_y$ addieren

und dann die Gleichungen durcheinander dividieren. Dadurch kürzt sich $\lambda$ weg.

Die resultierende Gleichung stellt den zentralen Punkt der Lösung dar. Sie stellt einen Zusammenhang zwischen dem Grenznutzenverhältnis und dem Preisverhältnis dar.
1) Das Preisverhältnis $\frac{p_x}{p_y}$ ist die Steigung der Budgetgeraden.
2) Das Grenznutzenverhältnis $\frac{\frac{d}{\mathit{dx}}U\left(x,y\right)}{\frac{d}{\mathit{dy}}U\left(x,y\right)}$ ist die Grenzrate der Substitution, also die Steigung der Isoquante.
3) Das Maximum wird erreicht, wenn die Steigung der Budgetgeraden gleich der Steigung der Isoquanten ist und auf der Budgetgeraden liegt.
4) Man nimmt nun Gleichung (4) und die Nebenbedingung und löst das System aus zwei Gleichungen nach $x$ und $y$ auf.
Gleichung (4) stellt eine intuitiv sehr plausible Heuristik dar. Wenn Gut $x$ einen hohen Grenznutzen hat, dann ist auch die Zahlungsbereitschaft (Preis) für dieses Gut hoch. Ist der Grenznutzen gering, so auch der Preis, der dafür gezahlt wird. Je höher also der Wert, den ein Konsument einem Gut zuweist ist, desto höher ist der Preis, den er dafür zu zahlen bereit ist.
Als Schreibweise für die partielle Ableitung hat sich auch oft die Indexierung des Funktionsnamens mit der Variable nach der abgeleitet wird eingebürgert, also $\frac{d}{\mathit{dx}}U\left(x,y\right)=U_x\left(x,y\right)$. Gleichung (4) schreibt sich dann einprägsam als

wobei der Index bei der Funktion als Ableitung und der Index bei der Preisvariablen als einfache Zuordnung zu lesen ist.

Die Steigung der Isoquante kann durch das implizite Funktionentheorem erklärt werden. Dieses besagt, dass die Steigung einer Isoquante das negative Verhältnis der partiellen Ableitungen ist. Genauer gesagt gilt:
Sei $F\left(x,y\right)$ eine Funktion mit $\frac{d}{\mathit{dy}}F\left(x_0,y_0\right)\ne 0$ und $f\left(x\right)$ eine Funktion, die das Niveau von $F$ konstant hält, d.h. $F\left(x,f\left(x\right)\right)=c$, dann gilt:

mit $y_0=f\left(x_0\right)$. Die Beweisidee geht auf die mehrdimensionale Kettenregel zurück.