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Wir lösen nun das bekannte Problem des Haushaltsoptimums. Maximiere den Nutzen
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Wir bilden die Lagrangefunktion
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und die Bedingungen erster Ordnung:
Die FOC 3 stellt die Nebenbedingung dar. Die anderen beiden formen wir um, indem
wir
und dann die Gleichungen durcheinander dividieren. Dadurch kürzt sich
Die resultierende Gleichung stellt den zentralen Punkt der Lösung dar. Sie stellt
einen Zusammenhang zwischen dem Grenznutzenverhältnis und dem
Preisverhältnis dar.
1) Das Preisverhältnis
2) Das Grenznutzenverhältnis
3) Das Maximum wird erreicht, wenn die Steigung der Budgetgeraden gleich der
Steigung der Isoquanten ist und auf der Budgetgeraden liegt.
4) Man nimmt nun Gleichung (4) und die Nebenbedingung und löst das System aus zwei
Gleichungen nach
Gleichung (4) stellt eine intuitiv sehr plausible Heuristik dar. Wenn Gut
Als Schreibweise für die partielle Ableitung hat sich auch oft die Indexierung des
Funktionsnamens mit der Variable nach der abgeleitet wird eingebürgert, also
wobei der Index bei der Funktion als Ableitung und der Index bei der Preisvariablen als einfache Zuordnung zu lesen ist.
Die Steigung der Isoquante kann durch das implizite Funktionentheorem
erklärt werden. Dieses besagt, dass die Steigung einer Isoquante das negative
Verhältnis der partiellen Ableitungen ist. Genauer gesagt gilt:
Sei
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mit
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