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Wir lösen nun das bekannte Problem des Haushaltsoptimums. Maximiere den Nutzen U(x,y) bei gegebenem Budget B, wenn die Güterpreise px und py betragen. Es gelte für die Nutzenfunktion Nichtsättigung und Konkavität.
maxx,yU(x,y) unter der Bedingung, dass xpx+ypy=B. |
Wir bilden die Lagrangefunktion
ℒ(x,y,λ)=U(x,y)+λ(xpx+ypy−B) |
und die Bedingungen erster Ordnung:
ddxU(x,y)+λpx=0(10.1)ddyU(x,y)+λpy=0(10.2)xpx+ypy−B=0(10.3)Die FOC 3 stellt die Nebenbedingung dar. Die anderen beiden formen wir um, indem wir −λpx bzw. −λpy addieren
ddxU(x,y)=−λpx(10.4)ddyU(x,y)=−λpy(10.5)und dann die Gleichungen durcheinander dividieren. Dadurch kürzt sich λ weg.
ddxU(x,y)ddyU(x,y)=pxpy(10.6)Die resultierende Gleichung stellt den zentralen Punkt der Lösung dar. Sie stellt
einen Zusammenhang zwischen dem Grenznutzenverhältnis und dem
Preisverhältnis dar.
1) Das Preisverhältnis pxpy
ist die Steigung der Budgetgeraden.
2) Das Grenznutzenverhältnis ddxU(x,y)ddyU(x,y)
ist die Grenzrate der Substitution, also die Steigung der Isoquante.
3) Das Maximum wird erreicht, wenn die Steigung der Budgetgeraden gleich der
Steigung der Isoquanten ist und auf der Budgetgeraden liegt.
4) Man nimmt nun Gleichung (4) und die Nebenbedingung und löst das System aus zwei
Gleichungen nach x
und y
auf.
Gleichung (4) stellt eine intuitiv sehr plausible Heuristik dar. Wenn Gut
x einen
hohen Grenznutzen hat, dann ist auch die Zahlungsbereitschaft (Preis) für
dieses Gut hoch. Ist der Grenznutzen gering, so auch der Preis, der dafür
gezahlt wird. Je höher also der Wert, den ein Konsument einem Gut
zuweist ist, desto höher ist der Preis, den er dafür zu zahlen bereit
ist.
Als Schreibweise für die partielle Ableitung hat sich auch oft die Indexierung des
Funktionsnamens mit der Variable nach der abgeleitet wird eingebürgert, also
ddxU(x,y)=Ux(x,y).
Gleichung (4) schreibt sich dann einprägsam als
wobei der Index bei der Funktion als Ableitung und der Index bei der Preisvariablen als einfache Zuordnung zu lesen ist.
Die Steigung der Isoquante kann durch das implizite Funktionentheorem
erklärt werden. Dieses besagt, dass die Steigung einer Isoquante das negative
Verhältnis der partiellen Ableitungen ist. Genauer gesagt gilt:
Sei F(x,y) eine Funktion
mit ddyF(x0,y0)≠0 und
f(x) eine Funktion, die
das Niveau von F
konstant hält, d.h. F(x,f(x))=c,
dann gilt:
f′(x0)=−ddxF(x0,y0)ddyF(x0,y0) |
mit y0=f(x0). Die Beweisidee geht auf die mehrdimensionale Kettenregel zurück.
c≡F(x,f(x))0≡ddxF(x,f(x))+ddyF(x,f(x))f′(x)[Weiter] [Zurück] [Zurück (Ende)] [Anfang] [Hoch]