10.4 Der Lagrange-Formalismus am Beispiel einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion

Wir lösen nun das bekannte Problem des Haushaltsoptimums mit einer Cobb-Douglas Nutzenfunktion $U\left(x,y\right)=T{x}^{\alpha }{y}^{\beta }$ bei gegebenem Budget $B$, wenn die Güterpreise $p_x$ und $p_y$ betragen, also

$$\underset{x,y}{\max <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}T{x}^{\alpha }{y}^{\beta }\text{ unter der Bedingung, dass }x{p}_x+y{p}_y=B.$$

Wir bilden die Lagrangefunktion

$$\mathcal{ℒ}\left(x,y,\lambda \right)=T{x}^{\alpha }{y}^{\beta }+\lambda \left(x{p}_x+y{p}_y-B\right)$$

und die Bedingungen erster Ordnung:

$$\begin{array}{lll}\hfill \frac{d}{\mathit{dx}}\left(T{x}^{\alpha }{y}^{\beta }+\lambda \left(x{p}_x+y{p}_y-B\right)\right)& =\mathit{T\alpha }{x}^{\alpha -1}{y}^{\beta }+\lambda p_x=0& \hfill \text{(10.8)}\\ \hfill \frac{d}{\mathit{dy}}\left(T{x}^{\alpha }{y}^{\beta }+\lambda \left(x{p}_x+y{p}_y-B\right)\right)& =T{x}^{\alpha }\beta y^{\beta -1}+\lambda p_y=0& \hfill \text{(10.9)}\\ \hfill \frac{d}{\mathit{d\lambda }}\left(T{x}^{\alpha }{y}^{\beta }+\lambda \left(x{p}_x+y{p}_y-B\right)\right)& =x{p}_x+y{p}_y-B=0& \hfill \text{(10.10)}\end{array}$$ Die FOC 3 stellt die Nebenbedingung dar. Die anderen beiden formen wir um, indem wir $-\lambda p_x$ bzw. $-\lambda p_y$ addieren $$\begin{array}{lll}\hfill \mathit{T\alpha }{x}^{\alpha -1}{y}^{\beta }& =-\lambda p_x& \hfill \text{(10.11)}\\ \hfill T{x}^{\alpha }\beta y^{\beta -1}& =-\lambda p_y& \hfill \text{(10.12)}\end{array}$$

und dann die Gleichungen durcheinander dividieren. Dadurch kürzt sich $\lambda$ weg und die rechte Seite vereinfacht sich.

$$\begin{array}{lll}\hfill \frac{\mathit{T\alpha }{x}^{\alpha -1}{y}^{\beta }}{T{x}^{\alpha }\beta y^{\beta -1}}& =\frac{\mathit{\alpha y}}{\mathit{\beta x}}=\frac{p_x}{p_y}& \hfill \text{(10.13)}\end{array}$$

Die resultierende Gleichung stellt den zentralen Punkt der Lösung dar. Sie stellt einen Zusammenhang zwischen dem Grenznutzenverhältnis und dem Preisverhältnis dar.
1) Das Grenznutzenverhältnis bei der Cobb-Douglas-Nutzenfunktion ist immer das umgekehrte Verhältnis der Gütermengen $\frac{y}{x}$ gewichtet mit dem Verhältnis der Exponenten (Elastizitäten) $\frac{\alpha }{\beta }$.
2) Der Technikfaktor $T$ ist irrelevant. Dieser beeinflusst die optimale Güterwahl nicht, sondern nur das erreichte Nutzenniveau.
3) Dieselbe Lösung ergäbe sich auch, wenn man eine monotone Transformation (z.B. den Logarithmus) der ursprünglichen Nutzenfunktion betrachtet. Rechnen Sie es doch einmal für $\tilde{U}\left(x,y\right)=\ln <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(T{x}^{\alpha }{y}^{\beta }\right)=\alpha \ln <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+\beta \ln <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y+\gamma$ nach.
Die beiden Gleichungen fassen wir wie folgt zusammen, wobei wir beide leicht umgeformt haben:

$$\begin{array}{llll}\hfill x{p}_x+y{p}_y& =B& \hfill & \\ \hfill \frac{\alpha }{\beta }y{p}_y& =x{p}_x& \hfill & \end{array}$$

Durch einsetzen erhalten wir $B=\frac{\alpha }{\beta }{p}_{y}y+y{p}_y=\frac{\alpha +\beta }{\beta }y{p}_y$ oder

$$\begin{array}{llll}\hfill y{p}_y& =\frac{\beta }{\alpha +\beta }B& \hfill & \\ \hfill x{p}_x& =\frac{\alpha }{\alpha +\beta }B& \hfill & \end{array}$$

Dies heisst nun dass die Ausgaben für ein Gut $x{p}_x$ immer einem festen Anteil am Budget entsprechen. Die Ausgabenanteile verhalten sich dabei wie die Exponenten der Nutzenfunktion $\frac{x{p}_x}{y{p}_y}=\frac{\alpha }{\beta }$, d.h. für ein Gut mit hohem relativen Nutzen (=großer Exponent) wird auch viel ausgegeben. Dies impliziert insbesondere, dass die Ausgaben für ein Gut nicht vom Preis für das Gut selbst oder dem Konsumverhalten bezüglich des anderen Gutes (Preis, Menge) beeinflusst werden. Steigt der Preis $p_x\uparrow$ eines Gutes, so sinkt die konsumierte Menge $x\downarrow$ im selben Maß. Die Höhe der Ausgaben $x{p}_x$ bleibt jedoch konstant. Dieser Zusammenhang glit jedoch nur für bestimmte spezielle Nutzenfunktionen wie der Cobb-Douglas-Nutzenfunktion.