10.7 Das duale Problem

Hier wird die Äquivalenz des Maximierungs- und des Minimierungsproblems erläutert. Wir haben in den vorhergehenden Seiten das bekannte Problem des Haushaltsoptimums in der Maximumsform gelöst, d.h. diejenige Güterkombination $x$ und $y$ gefunden, die den Nutzen $U\left(x,y\right)$ bei gegebenem Budget $B$ maximiert, wenn die Güterpreise $p_x$ und $p_y$ betragen. Eine alternative Formulierung wäre die Kosten $x{p}_x+y{p}_y$ zu minimieren, um ein bestimmtes Nutzenniveau $U_0$ zu erreichen.
Also

$$\begin{array}{llll}\hfill \underset{x,y}{\max <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}U(x,y)\text{ unter der Bedingung, dass }x{p}_x+y{p}_y& =B\text{ oder}& \hfill & \\ \hfill \underset{x,y}{\min <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}x{p}_x+y{p}_y\text{ unter der Bedingung, dass }U(x,y)& =U_0.& \hfill & \end{array}$$

Das Dualitätsprinzip besagt nun, dass die Lösungen für beide Probleme identisch sind, wenn das Budget $B$ mit dem Nutzenniveau $U_0$ korrespondiert. Wird mit einem Budget $B$ maximal das Nutzenniveau $U_0$ erreicht (Maximumproblem), so sind die minimalen Kosten um das Nutzenniveau $U_0$ zu erreichen (Minimumproblem) genau $B$ und die jeweiligen optimalen Güterkombinationen $x$ und $y$ stimmen überein. Man kann die sehr leicht anhand der Lagrange-Gleichungssysteme sehen.

Man sieht also, dass die zentrale Gleichung "Grenznutzenverhältnis = Preisvrehältnis" bei beiden Problemstellungen identisch in der Lösung auftaucht. Und wenn das Budget $B$ mit dem Nutzenniveau $U_0$ korrespondiert, dann sind auch die jeweils dritten FOCs äquivalent.