3.2 Das Solow-Modell: Die Darstellungen der Produktionsfunktion

Das Solowmodell geht von einer neoklassischen Produktionsfunktion aus. Eine Produktionsfunktion heißt neoklassisch, wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt:

1. stetig und zweimal differenzierbar
2. positive und abnehmende Grenzerträge
3. konstante Skalenerträge
4. essentielle Produktionsfaktoren
5. Inada-Bedingungen

Weiterhin werden nur Arbeit und Kapital als Produktionsfunktionen betrachtet, d.h.

$$Y=F(K,L)$$

Dies bedeutet insbesondere, dass wir im ersten Schritt, dem Basismodell den technischen Fortschritt noch außer Acht lassen. Wir werden den Einfluß der Technologie in Kapitel "technischer Fortschritt" genauer anschauen.

Erläuterung der Eigenschaften der neoklassischen Produktionsfunktion

1. positive und abnehmende Grenzerträge: Die Standard-Eigenschaft der allermeisten Produktions- und Nutzenfunktionen. Eine zusätzliche Einheit Kapital oder Arbeit bewirkt, dass mehr produziert wird. Je mehr von einem Faktor aber schon vorhanden ist, desto geringer fällt der positive Beitrag einer weiteren Einheit aus.

   positiver Grenzertrag des Kapitals	$F_K\left(K,L\right)>0$
   positiver Grenzertrag der Arbeit	$F_L\left(K,L\right)>0$
   abnehmender Grenzertrag des Kapitals	$F_{\mathit{KK}}\left(K,L\right)<0$
   abnehmender Grenzertrag der Arbeit	$F_{\mathit{LL}}\left(K,L\right)<0$

2. konstante Skalenerträge: Eine Verdoppelung aller Produktionsfaktoren führt zu einer Verdoppelung des Outputs. Für alle positiven Faktoren $\lambda$ gilt $F\left(\mathit{\lambda K},\mathit{\lambda L}\right)=\mathit{\lambda F}\left(K,L\right)$.
3. essentielle Produktionsfaktoren: Ein Produktionsfaktor ist essentiell, wenn ohne diesen Faktor gar nichts produziert werden kann, d.h. $F\left(0,L\right)=0$ und $F\left(K,0\right)=0$.
4. Inada-Bedingungen: Die Inada-Bedingungen, benannt nach Ken-Ichi Inada, geben das Verhalten einer Produktionsfunktion an den Rändern an. Sie steigt bei 0 unendlich stark an und wird im Unendlichen immer flacher, also $\underset{K\to 0}{\lim <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}{F}_K\left(K,L\right)=\infty$, $\underset{K\to \infty }{\lim <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}{F}_K\left(K,L\right)=0$ und $\underset{L\to 0}{\lim <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}{F}_K\left(K,L\right)=\infty$, $\underset{L\to \infty }{\lim <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}{F}_K\left(K,L\right)=0$ .

Eine typische neoklassische Produktionsfunktion ist eine Cobb-Douglas Produktionsfunktion mit $\alpha +\beta =1$ oder eine CES Produktionsfunktion mit konstanten Skalenerträgen.

Die pro-Kopf Darstellung

Die Produktionsfunktion $F$ hat konstante Skalenerträge, d.h. $F\left(\mathit{\lambda K},\mathit{\lambda L}\right)=\mathit{\lambda F}\left(K,L\right)$ für alle positiven $\lambda$. Wir setzen nun $\lambda =\frac{1}{L}$ ein.

$$\frac{1}{L}F\left(K,L\right)=F\left(\frac{1}{L}K,\frac{1}{L}L\right)=F\left(k,1\right),$$

wobei wir die Definition der Kapitalintensität oder pro-Kopf Kapitalstock $k=\frac{K}{L}$ eingesetzt haben. Wir schreiben nun kurz $f\left(k\right)=F\left(k,1\right)$ und erhalten

$$\frac{1}{L}F\left(K,L\right)=f\left(k\right)$$

und mit $Y=F\left(K,L\right)$

$$Y=\mathit{Lf}\left(k\right)$$

Nun stellen wir noch aus der linken Seite auf das pro-Kopf BIP $y=\frac{Y}{L}$um.

$$y=f\left(k\right)$$

Offensichtlich erfüllt auch $f$ die Inada Bedingungen und auch $f\left(0\right)=0$. Als Übungsaufgabe können Sie leicht zeigen, dass auch

$$f^{\prime }\left(k\right)>0\text{ und }{f}^{\mathit{\prime \prime }}\left(k\right)<0$$

gelten.