Antwort Frage 1

Das Solow-Modell ist eines der wichtigsten Wachstumsmodelle, um Wirtschaftswachstum zu analysieren. Es zählt zu den „exogenen“ Wachstumsmodellen, d.h. Wirtschaftswachstum wird durch Faktoren bestimmt, die nicht Teil des eigentlichen Modells sind.

Langfristig erklärt das Solow-Modell Wirtschaftswachstum durch technologischen Fortschritt. Das Einkommen wird dabei als eine Funktion dargestellt, welche hauptsächlich durch Kapital (K) und Arbeit (L) beschrieben wird. Die Variable A ist ein Indikator für die Produktivität, oder in anderen Worten, technologischen Fortschritt. \[ Y = A_{t}F(K_{t}L_{t}) \]

Antwort Frage 2

Durch die goldene Regel bestimmt die Sparquote, bei der der Pro-Kopf-Konsum maximiert wird. Im „Golden Rule Steady State“ entspricht die Grenzrate des Kapitals gleich der Wachstumsrate der Bevölkerung plus der Abschreibungsrate.

Antwort Frage 3 (a)

Positive und abnehmende Grenzerträge: \[ F_{K} > 0 \] \[ F_{KK} > 0 \] \[ F_{L} > 0 \] \[ F_{LL} > 0 \] Konstante Skalenerträge: \[ F(\lambda K, \lambda L) = \lambda F(K, L) \] Essentielle Produktionsfaktoren: \[ F(0, L) = F(K, 0) = 0 \] K > 0 und L > 0 damit F(K,L) > 0

Inada-Bedingung: \[ lim_{K→0} F_{K}(K,L) = \infty \] \[ lim_{K→ \infty} F_{K}(K,L) = 0\] \[ lim_{K→0} F_{L}(K,L) = \infty \] \[ lim_{K→\infty} F_{L}(K,L) = 0 \]

Antwort Frage 3 (b)

Positive und abnehmende Grenzerträge: \[ F_{K}(K, L) = \alpha A K^{\alpha - 1} L^{\beta} \] \[ F_{L}(K, L) = \beta A K^{\alpha} L^{\beta - 1} \] Damit die erste Ableitung größer Null ist, muss α>0 und β>0 gelten. \[ F_{KK}(K, L) = \alpha(\alpha - 1)A K^{\alpha - 2} L^{\beta} \] \[ F_{LL}(K, L) = \beta(\beta - 1)A K^{\alpha} L^{\beta-2} \] Damit die zweite Ableitung kleiner Null ist, muss α≪1 und β<1 gelten.

Konstante Skalenerträge: \[ F(\lambda K, \lambda L) = A(\lambda K)^{\alpha} (\lambda L)^{\beta} = \lambda^{\alpha + \beta} A K^{\alpha} L^{\beta} = \lambda^{\alpha+\beta} F(K,L) \] Damit F(λK, λL) = λF(K,L) muss α+β=1 erfüllt sein.

Essentielle Produktionsfaktoren: \[ F(0, L) = A 0^{\alpha} L^{\beta} = 0 \] \[ F(K, 0) = A K^{\alpha} 0^{\beta} = 0 \]

Inada-Bedingung: \[ lim_{K→0} \alpha A K^{\alpha - 1} L^{\beta} = \infty \] \[ \frac{\alpha A L^{\beta}}{K^{1 - \alpha}} \] Wenn nun K gegen Null konvergiert, geht F_K→ ∞.

(Die Inada-Bedingung ist erfüllt. Sie können versuchen nach obigen Beispiel zu beweisen, dass die übrigen Inada-Bedingungen auch erfüllt sind. Die Herleitung erfolgt analog.)

Damit eine Cobb-Douglas Funktion eine neoklassische Produktionsfunktion darstellt, müssen folgende zwei Bedingungen erfüllt sein:

• 0 < α,β < 1
• α+β=1

Antwort Frage 4

Punkt A: kein Gleichgewicht, da k = 0.

Punkt B: Stabildes Gleichgewicht ("steady state"), da

• "links von B" die Wirtschaft wächst, d.h. Bewegung in Richtung Punkt B
\[ sf(k) > (\delta + n)k \]
• "rechts von B" die Wirtschaft schrumpft, d.h. Bewegung in Richtung Punkt B
\[ sf(k) < (\delta + n)k \]

• "links von C" die Wirtschaftschrumpft, d.h. Bewegung in die entgegengesetzte Richtung von Punkt C
\[ sf(k) < (\delta + n)k \]
• "rechts von C" die Wirtschaft wächstt, d.h. Bewegung in die entegegengesetzte Richtung von Punkt C
\[ sf(k) > (\delta + n)k \]

Antwort Frage 5 (a)

Durch technologischen Fortschritt. Der technologische Fortschritt kann man sich als eine Variable vorstellen, die angibt, wie viel mit gegebenem Kapital und Arbeit produziert werden kann. Allgemein bezeichnet der technologische Fortschritt einen Effizienzgewinn der Wirtschaft, da bei gegebener Menger an Arbeit und Kapital mehr produziert werden kann. Solange es einen technologischen Fortschritt gibt, kann eien Wirtschaft weiterwachsen, c.p.

Antwort Frage 5 (b)

Technologischer Fortschritt bedeutet nicht unbedingt eine technologische Innovation (z. B. Lokomotive, Internet). Unter technologischem Fortschritt versteht man auch Produktionverbesserungen (z. B. Sicherheit oder PS-Leistung eines Autos) oder eine höhere Produktvielfalt (z. B. verschiedene Auto-Hersteller). Insgesamt gibt es drei Modell-Varianten, die einen technologischen Fortschritt berücksichtigen:

• Hicks, Y = AF(K, L): technologischer Fortschritt erhöht das allgemeine Produktionsniveau.
• Solow, Y = F(AK, L): technologischer Fortschritt erhöht die Produktivität des Faktors Kapital.
• Harrod, Y = F(K, AL): technologischer Fortschritt erhöht die Produktivität des Faktors Arbeit.

Antwort Frage 5 (c)

Antwort Frage 5 (d)

Antwort Frage 5 (e)

s = 0: Da Investitionen den Ersparnisse entsprechen, bedeutet s = 0, dass auch der Kapitalbestand gleich Null ist, da nichts investiert werden kann. In diesem Fall ist weder Produktion noch Konsum möglich. Eine Sparquote von Null impliziert langfristig einen Konsum von Null.

s = 1: Wenn eine Volkswirtschaft das gesamte Einkommen spart, ist der Kapitalstock und die Produktion sehr hoch. Allerdings bedeutet eine solche Situation, dass die gesamte Produktion eingesetzt werden muss, nur um die Abschreibungen auszugleichen. Es bliebe kein Einkommen für den Konsum übrig.

Ein optimaler Konsum erfordert also eine Sparquote s ∈ (0,1).

Antwort Frage 5 (f)

Antwort Frage 5 (g)

Das Solow-Modell zeigt, dass je höher die Produktion, desto höher die Sparquote, um die Produktion bzw. den Kapitalstock aufrecht zu erhalten bis schließlich die Investitionen gleich den Abschreibungen entsprechen. Um weiter wachsen zu können muss gelten, dass s > 1. s > 1 würde bedeuten, dass die Sparquote höher als das Einkommen wäre. Zumindest langfristig ist das nicht möglich und ein konstantes Wirtschaftwachstum kann so nicht aufrecht erhalten bleiben. Langfristig muss die Kapitalintensität gegen einen konstanten Wert konvergieren.