3.7 Konvergenzverhalten und das diskrete Modell

Die Konvergenz formal zu beweisen, würde einiges an mathematischer Theorie benötigen. Daher werden wir dies graphisch illustrieren. Dazu müssen wir allerdings eine zeitdiskrete Version des Solowmodells betrachten. Der Kapitalstock der nächsten Periode Kt+1 besteht aus dem aktuellen Kapitalstock Kt zuzüglich der Bruttoinvestitionen Ibr = sY t, die der Ersparnis entspricht, und abzüglich der Abnutzung δKt.

Kt+1 = Kt δKt + sY t = Kt δKt + sF (Kt,Lt)

Das ganze dividieren wir durch die arbeitende Bevölkerung, die wir hier zur Vereinfachung konstant halten. Die Produktionsfunktion können wir aufgrund der Homogenität wie oben vereinfachen F (Kt,Lt) L = f (kt).

Kt+1 L = Kt L δKt L + sF (Kt,Lt) L = Kt L δKt L + sF (Kt L , 1) kt+1 = (1 δ)kt + sf (kt)

Im Gegensatz zum zeitstetigen Modell, bei dem die Bewegungsgleichung die Änderungsrate des Kapitalstocks pro Kopf angibt (k˙), wird hier der Kapitalstock der Folgeperiode kt+1 als Funktion des aktuellen Kapitalstocks kt angegeben. Die Graphik zeigt folglich auch ein kt kt+1-Koordinationsystem und nicht ein k k˙-Koordinatensystem. Der kt+1 Funktionsgraph verläuft steiler als der k˙ Graph, weil k˙ eine Änderungsrate darstellt wohingegen bei kt+1 die Änderung zuzüglich des Altwerts enthalten ist, also auf die Änderung die Winkelhalbierende aufaddiert wird. Das Gleichgewicht bestimmt sich wieder durch die Bedingung, dass sich der pro-Kopf-Kapitalstock nicht ändert, also kt = kt+1. Dies entspricht der Winkelhalbierenden. Der Gleichgewichtspunkt ist also erreicht, wenn der Funktionsgraph kt+1 = (1 δ)kt + sf (kt) die Winkelhalbierende schneidet.

In der Graphik ist zudem die Entwicklung von einem beliebigen Startpunkt angegeben. Wie man in der Graphik sieht, konvergiert das Modell von jedem Punkt aus zum Gleichgewicht. Dabei sind die Konvergenzschritte umso kleiner, je näher man sich am Gleichgewicht befindet. Die Graphik ist dabei so zu lesen: Ausgehend von einem Startwert kt bestimmen wir den Wert kt+1 der nächsten Periode, indem wir vom Punkt kt auf der x-Achse nach oben zum Funktionsgraph kt+1 (kt) gehen und dort den y-Wert kt+1 ablesen. Diesen Spiegeln wir dann an der Winkelhalbierenden (x=y) wieder auf die x-Achse zurück um dort den nächsten Startpunkt kt+1 zu bekommen. Nun wiederholen wir das Procedere um zu kt+2 zu bekommen usw.

Wenn man bei diesem Verfahren die Wege von und zu den Achsen weglässt, sieht man, dass man nach dem Ablesen des kt+1Wertes der nächsten Periode am Funktionsgraphen diesen direkt horizontal zur Winkelhalbierenden überträgt und von da aus wieder vertikal zum Funktionsgraphen für den nächsten kt Wert.


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Prof. Dr. Christian Bauer, Lehrstuhl für monetäre Ökonomik, Universität Trier, D-54296 Trier, E-mail: bauer@uni-trier.de