3.10 Technologisches Wachstum

Bisher haben wir gelernt, dass Ökonomien sich zu einem stabilen Gleichgwicht hin entwickeln, bei dem der Wohlstand, also der pro Kopf Konsum oder die pro Kopf Produktion, nicht mehr weiter wächst. Zwar wächst das gesamt BIP weiter, aber nur im selben Maß wie die Bevölkerung, so das die pro-Kopf Größen konstant bleiben.

Dauerhaftes Wohlstandswachstum ist also nur über permanenten technologischen Fortschritt möglich.

Wenn wir nun Technologie als Parameter in unser Modell einführen, gibt es drei Basisvarianten, diese in der Produktionsfunktion zu realisieren:

1. Hicks: $Y=A\cdot F\left(K,L\right)$ Der technische Fortschritt erhöht das Niveau der gesamten Produktion.
2. Solow: $Y=F\left(A\cdot K,L\right)$ Der technische Fortschritt erhöht die Produktivität des Faktors Kapital.
3. Harrod: $Y=F\left(K,A\cdot L\right)$ Der technische Fortschritt erhöht die Produktivität des Faktors Arbeit.

Die Rate des technischen Fortschritts bezeichnen wir mit $g_A=\frac{Ȧ}{A}$

Das Problem des Findens eines Gleichgewichts wird bei den verschiedenen Arten des technischen Fortschrittes jedoch immanent, wie man in der unten stehenden Graphik sieht. Solange die Technologie effizienter wird, egal in welcher Form, schiebt sich der Gleichgewichtspunkt nach außen. Somit wächst die Volkswirtschaft unbegrenzt, solange die Technologie wächst.

Wie oben erhalten wir für jede der Varianten des Modells mit technischem Fortschritt die Gleichgewichtsbedingung für die Kapitalintensität

$$\begin{array}{llll}\hfill k& =\frac{K}{L}& \hfill & \\ \hfill \dot{k}& =\frac{d}{\mathit{dt}}\left(\frac{K}{L}\right)=\frac{\dot{K}L-\dot{L}K}{L^2}=\frac{\left(\mathit{sY}-\mathit{\delta K}\right)-\mathit{nK}}{L}=s\frac{Y}{L}-\left(\delta +n\right)k& \hfill & \\ \hfill s\frac{Y}{L}& =\left(\delta +n\right)k& \hfill & \end{array}$$ Nun setzen wir die drei unterschiedlichen Varianten für die Modellierung des technischen Fortschritts ein. $$\begin{array}{llll}\hfill s\frac{A\cdot F\left(K,L\right)}{L}& =\left(\delta +n\right)k\iff A\cdot \mathit{sf}\left(k\right)=\left(\delta +n\right)k& \hfill & \\ \hfill s\frac{F\left(A\cdot K,L\right)}{L}& =\left(\delta +n\right)k\iff \mathit{sf}\left(A\cdot k\right)=\left(\delta +n\right)k& \hfill & \\ \hfill s\frac{F\left(K,A\cdot L\right)}{L}& =\left(\delta +n\right)k\iff s\frac{A\cdot F\left(K,A\cdot L\right)}{A\cdot L}=\left(\delta +n\right)k& \hfill & \\ \hfill & \iff A\cdot \mathit{sf}\left(\frac{k}{A}\right)=\left(\delta +n\right)k& \hfill & \end{array}$$

Solow hat jedoch gezeigt, dass man für die dritte Variante (und es gibt Artbeiten, die zeigen, dass das nur für diese möglich ist) ein "Gleichgewicht im Wachstum" definieren kann. Dazu ersetzen wir den Nenner $L$unserer Variablen durch die "effektive Arbeit" $\mathit{AL}$. Dann ergibt sich:

$$\begin{array}{llll}\hfill k& =\frac{K}{\mathit{AL}}& \hfill & \\ \hfill \dot{k}& =\frac{d}{\mathit{dt}}\left(\frac{K}{\mathit{AL}}\right)=\frac{\dot{K}\mathit{AL}-K\left(\mathit{ȦL}+\dot{L}A\right)}{{\left(\mathit{AL}\right)}^2}=\frac{\left(\mathit{sY}-\mathit{\delta K}\right)\mathit{AL}-\mathit{ȦKL}-\mathit{nLAK}}{{\left(\mathit{AL}\right)}^2}& \hfill & \\ \hfill & =s\frac{Y}{\mathit{AL}}-\delta \frac{K}{\mathit{AL}}-\frac{Ȧ}{A}\frac{K}{\mathit{AL}}-n\frac{K}{\mathit{AL}}=\mathit{sy}-\left(g_A+\delta +n\right)k& \hfill & \end{array}$$

wobei wir auch das BIP in pro Kopf Effizienzeinheiten umrechnen $y=\frac{Y}{\mathit{AL}}$ und $y=f\left(k\right)$. Aus $\dot{k}=0$ ergibt sich dann analog zu oben

$$f\left(k\right)=\left(g_A+\delta +n\right)k.$$

Im stationären Zustand wächst das BIP also mit der Bevölkerungswachstumsrate und der Rate des technischen Fortschritts und auch das BIP pro Kopf wächst im Gleichgewicht, nämlich mit der Rate des technischen Fortschritts. Begründung:

$$k^{\text{∗}}=\frac{K}{\mathit{AL}}=\mathit{const}.\Rightarrow \frac{Y}{\mathit{AL}}=\mathit{const}.\Rightarrow g_Y=g_A+g_L.$$