3.9 Goldene Regel

Natürlich kann man sich die Frage stellen, welches Gleichgewicht das beste für eine Gesellschaft sei. Eine Antwort wäre, dasjenige, das langfristig den höchsten pro Kopf Konsum ermöglicht. Von den möglichen Parametern bleibt als Verhaltensgröße nur die Sparquote $s$, die die Gesellschaft wählen kann. Erstaunlicherweise ermöglicht nicht das Gleichgewicht mit dem größtmöglichen Output den optimalen Konsum, da eine Steigerung des Output nur möglich ist über eine Erhöhung der Sparquote. Eine Steigerung der Sparquote hat also gegenläufige Effekte für den Konsum: Sie erhöht den Output, also die Menge aller Güter, reduziert aber die verfügbare Menge, da mehr gespart wird. Das Optimum wird erreicht wenn beide Effekte gleich groß sind.

Der Konsum ist

$$\begin{array}{llll}\hfill c^{\text{∗}}& =y^{\text{∗}}-s{y}^{\text{∗}}& \hfill & \\ \hfill & =\left(1-s\right)f\left(k^{\text{∗}}\right)& \hfill & \end{array}$$

Da auch die Kapitalintensität im Gleichgewicht von der Sparquote abhängt, gilt das auch für den Konsum im Gleichgewicht.

$$\begin{array}{llll}\hfill c^{\text{∗}}\left(s\right)& =\left(1-s\right)f\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)& \hfill & \\ \hfill \frac{d{c}^{\text{∗}}\left(s\right)}{\mathit{ds}}& =\frac{d}{\mathit{ds}}\left(\left(1-s\right)f\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)\right)& \hfill & \\ \hfill & =-f\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)+\left(1-s\right)\frac{d}{\mathit{ds}}f\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)& \hfill & \\ \hfill & =-f\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)+\left(1-s\right)f^{\prime }\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)\frac{d}{\mathit{ds}}{k}^{\text{∗}}\left(s\right)& \hfill & \\ \hfill & =-f\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)+\left(1-s\right)f^{\prime }\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)\left(-\frac{f\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)}{s{f}^{\prime }\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)-\left(\delta +n\right)}\right)& \hfill & \end{array}$$

Die First Order Condition, $\frac{d{c}^{\text{∗}}\left(s\right)}{\mathit{ds}}=0$ impliziert, dass

$$\begin{array}{llll}\hfill 0& =-f\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)+\left(1-s\right)f^{\prime }\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)\left(-\frac{f\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)}{s{f}^{\prime }\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)-\left(\delta +n\right)}\right)|:f\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)& \hfill & \\ \hfill 0& =-1+\left(1-s\right)f^{\prime }\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)\left(\frac{1}{\left(\delta +n\right)-s{f}^{\prime }\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)}\right)|+1& \hfill & \\ \hfill 1& =\left(1-s\right)f^{\prime }\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)\left(\frac{1}{\left(\delta +n\right)-s{f}^{\prime }\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)}\right)|\cdot \left(\left(\delta +n\right)-s{f}^{\prime }\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)\right)& \hfill & \\ \hfill \left(\delta +n\right)-s{f}^{\prime }\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)& =\left(1-s\right)f^{\prime }\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)|+s{f}^{\prime }\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)& \hfill & \\ \hfill \delta +n& =f^{\prime }\left(k^{\text{∗}}\left(s\right)\right)& \hfill & \end{array}$$

Die optimale Sparrate erfüllt also die Bedingung, dass die Grenzproduktivität der gleichgewichtigen Kapitalintensität genau die Summe der Grenzeffekte von Bevölkerungswachstum und Abschreibungsrate entspricht.

Wenn wir dies nun graphisch im $k^{\text{∗}}-y$-Diagramm darstellen wollen, haben wir das Problem, dass der Konsum im Gleichgewicht $c=\left(1-s\right)f\left(k^{\text{∗}}\right)$ ja von der Sparrate abhängt, die wiederum das Gleichgewicht bestimmt. Dieses Prblem lösen wir, indem in der Graphik für jedes Gleichgewicht $k^{\text{∗}}$ genau die Sparrate verwendet wird, die dieses Gleichgewicht erzeugt. Die Ableitung der Produktionsfunktion $f^{\prime }\left(k\right)$ ist die Grenzproduktivität des Kapitals, also im Sinne von Wicksell der Realzins $r$.

Auch hier wollen wir das Cobb Douglas Beispiel durchrechnen:

Für die Kapitalintensität im Gleichgewicht haben wir oben bestimmt

$$k^{\text{∗}}={\left(\frac{\delta +n}{s}\right)}^{\frac{1}{\alpha -1}}$$

Daraus erhalten wir durch auflösen nach der Sparquote, die zum Gleichgewicht $k^{\text{∗}}$ führt

$$s^{\text{∗}}=(\delta +n){\left(k^{\text{∗}}\right)}^{1-\alpha }$$

Somit ergibt sich für den Konsum im Gleichgewicht:

$$\begin{array}{llll}\hfill c^{\text{∗}}& =\left(1-s^{\text{∗}}\right)f\left(k^{\text{∗}}\right)& \hfill & \\ \hfill & =\left(1-(\delta +n){\left(k^{\text{∗}}\right)}^{1-\alpha }\right){\left(k^{\text{∗}}\right)}^{\alpha }& \hfill & \\ \hfill & ={\left(k^{\text{∗}}\right)}^{\alpha }-(\delta +n)k^{\text{∗}}& \hfill & \end{array}$$

Als First Order Condition für das Konsummaximum erhalten wir

$$\begin{array}{llll}\hfill \frac{d{c}^{\text{∗}}}{d{k}^{\text{∗}}}& =0& \hfill & \\ \hfill 0& =\alpha {\left(k^{\text{∗}}\right)}^{\alpha -1}-(\delta +n)& \hfill & \\ \hfill k^{\text{∗}}& ={\left(\frac{\delta +n}{\alpha }\right)}^{\frac{1}{\alpha -1}}& \hfill & \\ \hfill & ={\left(\frac{\alpha }{\delta +n}\right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}& \hfill & \end{array}$$