19.1 Elastizität einer beliebigen Funktion

Gib eine beliebige Funktion in das Feld ein, um Dir den Funktionsgraphen anzeigen zu lassen. Ein beweglicher Punkt auf dem Graphen zeigt Dir die jeweilige Elastizität der Funktion in dem Punkt an.

Eine Elastizität $𝜖$ gibt an, wie stark eine Variable auf die Veränderung einer anderen Variablen reagiert. Alle Veränderungen werden in % angegeben.
Als Beispiel zur Illustration dieser Größe nehmen wir die Preiselastizität der Nachfrage oder die Substitutionselastizität einer Produktionsfunktion.
Die Preiselastizität der Nachfrage ist die prozentuale Änderung der Nachfrage bei einer ein-Prozent Änderung des Preises.

$$\text{Preiselastizität der Nachfrage}=\frac{\text{prozentuale Mengenänderung}}{\text{prozentuale Preisänderung}}$$

Die Substitutionselastizität einer Produktionsfunktion (mit zwei Produktionsfaktoren) ist die prozentuale Steigerung des einen Produktionsfaktor, die bei einer ein prozentigen Senkung des anderen Produktionsfaktors nötig ist, um die produzierte Menge konstant zu halten.

$$\text{Substitutionselastizität einer Produktionsfunktion}=\frac{\text{prozentuale Mengenänderung Faktor x}}{\text{prozentuale Mengenänderung Faktor y}}{\text{|}}_{F(x,y)=\mathit{konst}.}$$

Obwohl die Elastizität inhaltlich gut verständlich und mathematisch klar definiert ist, weicht die Umsetzung der wichtigsten ökonmischen Beispiele (Preiselastizität der Nachfrage und Substitutionselastizität) von der Standarddarstellung ab. Bei der Substitutionselastizität wird nicht die ursprüngliche Produktionsfunktion (da sie eine Funktion von zwei Variablen ist) sondern deren Isoquante genommen, bei der Preiselastizität der Nachfrage wird erstens das Vorzeichen gedreht und Ordinate und Abszisse vertauscht. Auf die Darstellung der Preiselastizität wird in der nächsten Graphik eingegangen.

1. Die Elastizität ist skaleninvariant .
   Es ist also egal, in welcher Einheit die Input und Output Größe gemessen werden. Da nur prozentuale Veränderungen in die Berechnung der Elastizität eingehen, spielt die Skala keine Rolle.
   Beispiel: 1 % von 100.000 € sind 1.000 €. Nimmt man T € als Skala, so erhält man 1% von 100T € sind 1T €, also dasselbe.
2. Die Elastizität ${𝜖}_f$ einer Funktion $f$ hängt mit der Ableitung zusammen, ist aber nicht dasselbe! Während die Ableitung einer Funktion die Änderung des Output ($\mathrm{\Delta }y$) zur Änderung des Inputs ($\mathrm{\Delta }x$) in Beziehung setzt, $f^{\prime }=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$, verwendet man für die Berechnung der Elastizität die relativen Änderungen ($\frac{\mathrm{\Delta }y}{y}$ und $\frac{\mathrm{\Delta }x}{x}$), also ${𝜖}_f=\frac{\frac{\mathrm{\Delta }y}{y}}{\frac{\mathrm{\Delta }x}{x}}$. Die Beziehung zwischen Ableitung und Elastizität (die Approximation mittels $\mathrm{\Delta }y$ und$\mathrm{\Delta }x$ ist bei beiden identisch) ergibt sich also zu ${𝜖}_f=f^{\prime }\cdot \frac{x}{y}$
   Als Folge ist auch die Elastizität einer linearen Nachfrage nicht konstant, sondern bei kleinem Preis niedrig und bei großem Preis hoch.Vielmehr ist die Elastizität die Ableitung auf doppelt logarithmischer Skala (s.u.).
3. In einem festen Punkt (x,p) ist die Preiselastizität der Nachfrage umsogrößer, je flacher(!) die Nachfragekurve ist. Die Nachfrageelastizität misst die Stärke der Reaktion der Nachfrage auf eine Preiserhöhung.
4. Bei (c.p.) höherem Preis ist die Nachfrageelastizität höher.
   Bei (c.p.) höherer Menge ist die Nachfrageelastizität geringer.
   Grund: Die Darstellung der Nachfrage als Funktion des Preises misst Absolutwerte!

Wir nehmen hier eine lineare oder konkave Nachfragefunktion an, das impliziert einen abnehmenden Grenznutzen mit nicht zunehmender Abnahmerate. Dies impliziert, dass die Elastizität der Nachfrage mit dem Preis wächst.
Bei ${𝜖}_P=1$ wird der maximale Umsatz erreicht.
Anschauliche Begründung:
Wird ausgehend von ${𝜖}_P=1$ der Preis der Preis erhöht, so reduziert sich die Menge Überproportional, da bei höherem Preis ${𝜖}_P>1$ gilt. 1 Preissteigerung reduziert die Menge um mehr als 1. Somit sinkt der Umsatz.
Wird ausgehend von ${𝜖}_P=1$ der Preis der Preis reduziert, so erhöht sich die Menge unterproportional, da bei niedrigerem Preis ${𝜖}_P<1$ gilt. 1 Preissenkung erhöht die Menge um weniger als 1. Somit sinkt der Umsatz.
In beiden Fällen sinkt der Umsatz.
Sind die variablen Kosten vernachlässigbar (Bsp. Museum, Kinos), so ist Umsatzmaximierung gleich Gewinnmaximierung und das Unternehmen verhält sich optimal, wenn es den Umsatz zu maximieren versucht. Trägt man die Nachfragekurve oder eine andere Funktion in einem Koordinatensystem mit zwei logarithmischen Achsen auf, so entspricht die Elastizität der Steigung der Kurve in diesem Koordinatensystem. Mit anderen Worten erhält man die Elastizität einer Funktion, indem man den Logarithmus der Funktion nach dem Logarithmus der Inputvariablen ableitet.
In der Herleitung der Behauptung verwenden wir $\frac{d\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(f(x))}{\mathit{dx}}=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$ und $\frac{d\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)}{\mathit{dx}}=\frac{1}{x}.$ Zudem sei angemerkt, dass das Erweitern dieses Bruches um $\frac{\mathit{dx}}{\mathit{dx}}$ formal nicht ganz korrekt ist, dem Leser aber eine intuitiv begreifbare und nachvollziehbare Herleitung ermöglicht.
Herleitung

$$\frac{d\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(f(x))}{d\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)}=\frac{\frac{d\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(f(x))}{\mathit{dx}}}{\frac{d\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)}{\mathit{dx}}}=\frac{\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}{\frac{1}{x}}=f^{\prime }(x)\cdot \frac{x}{f(x)}$$